Solution:
First the code:

The code is a direct port from the one in PyEuler. It is based mainly in the idea that the first factor of a number is always prime.

Line 3 breaks recursion and line 4 works out the next prime factor (actually, it finds the smallest factor). For doing this, it uses find method. If no element match the criteria, then it returns the number (that is what the lambda block is for).

Finally, line 5 merges the results and line 8 print the result.

This time just one code is showed.

 

Primera solución:

La primera solución es muy simple. Hay un método que devuelve un array con todos los números de la sucesión de Fibonacci menores que un máximo max tomando como inicio un array de dos elementos arr.

Después simplemente se eliminan los impares y se suman los que quedan.

Segunda solución:

Esta solución es un poco mejor. Se va a hacer un nuevo método que calcule todos los números de la sucesión de Fibonacci menores que un máximo max pero que sólo almacene aquellos que pasen una condición que se le pasa como bloque:

Después sólo hace falta pasar el filtro adecuado, y sumar los resultados:

Tercera solución:

Esta tercera solución es una modificación directa de la segunda. En vez de almacenar los datos, se suman directamente.

Y eso es todo.

Actualización: Hay diferencias entre la página de PyEuler y la del Proyecto Euler. El problema ha sido actualizado para corresponderse con esta última.

 

Enunciado:
Halla la suma de todos los números menores que 1000 y múltiplos de 3 o de 5.

Solución 1:

La explicación es simple. Tenemos un rango desde 1 hasta el límite, filtramos los que son múltiplos de algún elemento del array y después se suman.

Solución 2:

Éste es similar al anterior, sólo que se suma según se recorre el rango.

Solución 3:
Para este necesitamos antes un par de funciones. La primera, halla el máximo común divisor de dos números. Para ello, básicamente usa el algoritmo de Euclides.

Por otra parte, está la función que calcula el mínimo común múltiplo. Para ello usa su relación con el m.c.d..

Con esto, ya podemos pasar a la tercera solución, que es diferente de las otras dos en que sólo sirve si utilizamos dos números como filtro.

La explicación es un poco más complicada, pues implica teoría básica de conjuntos y la conocida fórmula de la suma de 1 a n.

Ahora es vuestro turno. ¿Cómo se os ocurre hacerlo?

 

Fracciones unitarias.
Los egipcios ya conocían las fracciones aunque no todas le "gustaban". De hecho, sólo le gustaban las fracciones unitarias (aquellas en las que el numerador es la unidad) y sólo tenía como excepción (o capricho, según se mire): la fracción 2/3. Así, si se encontraban con una distinta, la transformaban en un sumatorio de fracciones unitarias.

Para pasar una fracción del tipo 2/2k a fracción unitaria es muy sencillo: 2/2k = 1/k. El problema viene con fracciones del tipo 2/n con n impar. En el papiro de Ahmes o de Rhind se encuentra una tabla con algunas descomposiciones con fracciones de dicho tipo, exactamente para todos los impares comprendidos entre 3 y 101, ambos inclusive. Sorprende que dichas descomposiciones no son las más "lógicas", es decir, si tenemos 2/k usar 1/k+1/k. De hecho, nadie sabe porqué se eligieron esas descomposiciones y no otras, aunque la mayoría son una de las opciones más simples de descomposoción.

Multiplicación.
Para multiplicar usaban un sistema muy interesante, el de la duplicación. Básicamente, no es muy diferente a la técnica que todos usamos en un principio: la de sumar repetidamente. La única diferencia es que iban multiplicando por dos de forma consecutiva. Así, para multiplicar 4x13:

1 ------------- 4
2 ------------- 8
4 ------------- 16
8 ------------- 32

Así se tiene que 52 = 32 + 16 + 4 = 4·8 + 4·4 + 4·1 = 4·(8 + 4 + 1) = 4 · 13. Que es lo que buscábamos. Para demostrar que es posible con cualquier número, sólo hace falta reseñar que se basa en que cualquier número es expresable en base 2.

 

Resulta que ese uno-uno-tres-ocho forma parte del título del primer largometraje de George Lucas: THX-1138. Así pues, me he puesto a indagar sobre ello y he encontrado esta página. En ella se descubre, ¡oh, qué casualidad! que es la primera vez que aparece la palabra Wookie en el cine.

Como todos (aquellos que hayan visto la película) recordarán, poco después caen en un triturador de basura. Lo que no todos recordarán es que el número de dicho triturador es 3263827. Este número me ha resultado curioso y me he puesto a investigar. Lo primero, como siempre, es saber su factorización en números primos. Por el Teorema fundamental de la Aritmética, dicha factorización es única, salvo el orden. Al descomponerlo, resulta curioso que sólo tenga dos factores primos: el 7 y el 466261 (no soy el primero en fijarme en esto). No creo que George Lucas haya estado haciendo números, pero resulta que 1138 también se descompone en dos factores primos: 2 y 569.

Tengo mucho tiempo libre Q.E.D.

 

Un grupo se compone de un conjunto de elementos (por ejemplo, X) y una operación binaria (por ejemplo, *) que cumplen los siguientes requisitos:

1. La operación ha de ser cerrada. Esto quiere decir que cogiendo dos elementos cualquiera de X, se tiene que al aplicar la operación nos da otro elemento de X. En lenguaje matemático se expresa así: ∀ x,y ∈ X | x*y ∈ X.
2. La operación ha de poseer la propiedad asociativa, es decir: ∀ a,b,c ∈ X | a*(b*c) = (a*b)*c.
3. Ha de existir un elemento neutro e que verifique que ∀ x ∈ X | e*x = x*e = x.
4. Ha de existir un elemento inverso x' ∈ X | x*x' = x'*x= e.

Además, si se da la conmutatividad (es decir, para dos elementos cualquiera x,y ∈ X se verifica que x*y = y*x) tenemos que es un grupo abeliano o conmutativo.

Todo este rollo viene para introducir el grupo abeliano de cuatro elementos, o grupo de Klein, que consta de los elementos a,b,c,1. Para terminar de definirlo, sólo hace falta decir que c=ab y que aa=1, bb=1, siendo 1 el elemento neutro del grupo.

Resulta que, visitando la página del difunto Miguel de Guzmán, me encuentro que dicho grupo de Klein se puede emplear para demostrar si una situación final es válida o no en uno de los solitarios de tablero. El artículo completo se encuentra aquí.