One group to rule them all.

Dedicado a un matemático en ciernes, este post tratará de una simple definición del concepto matemático de Grupo, tal vez el primer obstaculillo que se encuentra el estudiante al empezar la carrera.

Un grupo se compone de un conjunto de elementos (por ejemplo, X) y una operación binaria (por ejemplo, *) que cumplen los siguientes requisitos:

  1. La operación ha de ser cerrada. Esto quiere decir que cogiendo dos elementos cualquiera de X, se tiene que al aplicar la operación nos da otro elemento de X. En lenguaje matemático se expresa así: ∀ x,y ∈ X | x*y ∈ X.
  2. La operación ha de poseer la propiedad asociativa, es decir: ∀ a,b,c ∈ X | a*(b*c) = (a*b)*c.
  3. Ha de existir un elemento neutro e que verifique que ∀ x ∈ X | e*x = x*e = x.
  4. Ha de existir un elemento inverso x’ ∈ X | x*x’ = x’*x= e.

Además, si se da la conmutatividad (es decir, para dos elementos cualquiera x,y ∈ X se verifica que x*y = y*x) tenemos que es un grupo abeliano o conmutativo.

Todo este rollo viene para introducir el grupo abeliano de cuatro elementos, o grupo de Klein, que consta de los elementos a,b,c,1. Para terminar de definirlo, sólo hace falta decir que c=ab y que aa=1, bb=1, siendo 1 el elemento neutro del grupo.

Resulta que, visitando la página del difunto Miguel de Guzmán, me encuentro que dicho grupo de Klein se puede emplear para demostrar si una situación final es válida o no en uno de los solitarios de tablero. El artículo completo se encuentra aquí.

Author: Serabe

Mathematician, and Ruby and JavaScript programmer. Sometimes I speak at conferences and local meetups.

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